Samstag, 21. Juli 2012

Cauchy Integralsatz - Der Hauptsatz der Funktionstheorie von Cauchy

Was ist der Cauchy Integralsatz?

Der Cauchy Integralsatz von Augustin Louis Cauchy beschreibt eine bestimmte Eigenschaft von parametrisierte Kurven.  
Eine parametriesierte Kurve ist eine stetige Abbildung, wobei das Intervall aus dem reellen Raum besteht.

Diese Eigenschaft beschreibt folgendes: zwei Wege (Wege sind parametrisierte Kurven), welche den gleichen Anfangspunkt und Endpunkt haben und dabei holomorph sind, besitzen das gleiche Kurvenintegral.

Zeichnen wir mal eine holomorphe Funktion:

Die komplexe Exponentialfunktion ist eine holomorphe Funktion, weil sie beliebig oft differenzierbar ist:

exp(z) = exp(x + i*y) = exp(x) * exp(iy) = 
exp(x) * (cos(y) + i*sin(y)), wobei z = x + i*y und z aus dem komplexen Raum ist.

Differenzieren wir exp(z):

Wir wissen das gilt: 
exp(z) =  exp(x) * (cos(y) + i*sin(y))
 

 
Somit gilt nach der Produktregel:

exp'(z) = ((d/dx) exp(x)) * (cos(y) + i*sin(y)) +              exp(x)* 0
= ((d/dx) exp(x)) * (cos(y) + i*sin(y)) = exp(x) * (cos(y) + i*sin(y))

Folglich: exp'(z) = exp(z) (diese Funktion ist also beliebig oft differenzierbar und das heißt das die Funktion holomorph ist)

Welche Eigenschaften zeigen "schnell" wann eine Funktion eine holomorphe Funktion ist?

Hierbei betrachten wir einen komplexen Raum.

Wir haben eine holomorphe Funnktion falls gilt:
  1. wie oben schon beschrieben: falls eine Funktion beliebig oft komplex differenzierbar ist
  2. oder wenn eine Funktion ist einmal komplex differenzierbar ist
  3. oder falls es möglich ist eine Funktion in einer komplexen Potenzreihe darstellbar ist.
  4. oder falls die Cauchy-Riemann'sche Differentialgleichungen für den Realteil und dem Imaginärteil der Funktion gelten. Zudem muss aber noch gelten: der Realteil und der Imaginärteil müssen einmal stetig differenzierbar sein 
Es gibt aber noch weitere Möglichkeiten um zu prüfen, ob eine Funktion holomorph ist.

Im Allgemeinen kann man sagen (wir sind immer noch im komplexen Raum):
  • jede Exponentialfunktion ist holomorph
  • jedes Polynom ist holomorph
  • jede trigonometrische und jede hyperbolische Funktion ist holomorph


Kommen wir nun wieder zum Cauchy Integralsatz, also zum Hauptsatz der Funktionstheorie:

Satz: Cauchy Integralsatz:
Falls D ein einfach zusammenhängendes Gebiet ist mit f: D → C (C ist der komplexe Raum), f eine holomorphe Funktion ist und zudem w: [a, b] → A ein geschlossene stückweise parametrisierte Kurve ist. Dann gilt:

\oint_\gamma f = 0  ,  wobei  \gamma \colon [0,1]\to D abbildet.


Beweis:
Betrachten wir folgendes:
  • w Weg (parametrisierte Kurve),
  • D\{z0} unser Gebiet ohne den homotopen Punkt z0,
  • kr(t)  z0 + r * exp(i*t) ein Kreis mit 0 ≤ t ≤ 2 π
Nun können wir w in D\{z0} auf kr(t)  z0 + r * exp(i*t) um z0 zusammenziehen. Dabei wählen wir für r einen hinreichend kleinen Wert. Weil wir das dürfen ist unser Kreis auch homotop auf D\{z0}.

Damit gilt:

 
und zudem gilt:

      (für r gegen Null)

aus der Unabhängigkeit der linken Seite von r gilt: